Визуализация умножения единичных октонионов, которых насчитывается 8, требует мышления в ... [+] многомерных пространствах (слева). Также показана таблица умножения для любых двух единичных октонионов (справа).
Yannick Herfray (L), English Wikipedia (R)
Возможно, самый замечательный факт о Вселенной заключается в том, что каждая частица внутри нее - во все времена, в любом месте и при любых условиях - подчиняется одним и тем же законам физики. Правила, по которым играет природа, одинаковы для всех, и, найдя математическую структуру, которая описывает эти правила, мы можем описать и природу. Часто обнаружение новой математической структуры приводит к разработке новой физической структуры, и там, где эта структура точно описывает Вселенную, можно вывести новую физику. Одна из самых захватывающих математических возможностей для нашей Вселенной включает в себя нечто, известное как октонионы, и это приводит нас к вопросу куратора Патреона Педро Тейшейры, который заключается в следующем:
Октонионы, есть ли у них шанс быть ответом на то, как работает наша реальность, или это просто обман?
Давайте начнем с самого начала: с математики, которая лежит в основе физики.
Закон всемирного тяготения Ньютона (L) и закон Кулона для электростатики (R) имеют почти ... [+] идентичные формы для уравнений силы взаимодействия, которые можно решить, чтобы получить уравнения движения для частиц в классической картине Вселенной. Для решения этих уравнений не требуется математики более сложной, чем действительные числа.
Dennis Nilsson / RJB1 / E. Siegel
Если бы все, что у вас было в вашем математическом багаже - это действительные числа, вы все равно могли бы сделать очень много. От Галилея до Ньютона, Кулона и Максвелла вся классическая физика строится на основе действительных чисел. Силовые законы, уравнения движения и многое другое можно вывести, не прибегая к математике, более продвинутой, чем набор действительных чисел, включая переменные, константы и зависимые функции.
Но для этого уже требуется математический скачок, на разработку которого ушли тысячелетия: скачок, включающий отрицательные числа. Когда вы бросаете мяч в воздух и спрашиваете, когда он упадет на землю, вы получаете два ответа за раз: один положительный и один отрицательный. Иногда любой ответ может быть правильным, но одна математика не скажет вам, к какой ситуации это применимо. Для этого вам нужны физические условия проблемы, и именно так вы решаете, какой ответ является уместным.
Изучая это стробирующее изображение прыгающего мяча, вы не можете точно определить, движется ли шар ... [+] вправо и теряет энергию при каждом скачке, или же он движется влево и получает энергичный удар с каждым подпрыгиванием. Законы физики симметричны при обращении времени, и уравнения движения дадут вам два решения (положительное и отрицательное) для любой траектории, которую вы сможете получить. Только наложив физические ограничения, мы можем узнать, какой из двух ответов правильный.
Wikimedia commons users MichaelMaggs and (edited by) Richard Bartz
Однако действительные числа, даже если вы включаете как положительные, так и отрицательные числа, имеют предел сложности их математической структуры. Например, любое действительное число, когда вы его возводите в квадрат, всегда дает вам положительное число, независимо от того, было ли действительное число, с которого вы начали, положительным или отрицательным. Однако если вы попытаетесь получить квадратный корень из действительного числа, только положительные числа дадут вам реальный результат. Квадратный корень отрицательного числа не является четко определенным, во всяком случае, если мы ограничимся набором действительных чисел.
Но есть новая математическая структура, которую мы можем добавить в набор, которая дает нам возможность не только определять квадратный корень из отрицательного числа, но и выполнять новые математические операции, которые невозможны только с действительными числами. Это продвижение потребовало введения нового набора чисел: мнимых и комплексных чисел, где мнимое число i определяется как √ (-1).
Вместо того, чтобы двигаться вперед и назад по одной только реальной оси, вы можете добавить мнимую ось и двигаться ... [+] через сложную плоскость. Комбинация вещественных чисел и мнимых формирует гораздо более богатую математическую структуру, чем позволяют одни действительные числа, и приводит к интересным физическим последствиям, которые возникают не только в математике.
gunther, wereon, and iasindi / Wikimedia Commons
Вещественное число имеет только действительную часть, определяемую действительным числом: a. Но комплексные числа имеют как действительную, так и мнимую часть, a + bi, где a - действительная часть, а bi - мнимая часть. (b также является действительным числом.) Переходя от действительной к комплексной математике (включая математику теории комплексных групп), может возникнуть совершенно новый набор физических явлений.
Квантовая физика воспользовалась этим необычайным преимуществом, отметив, что порядок, в котором выполнялись квантовые операции, имел огромное значение. Для действительных чисел не имеет значения, умножаете ли вы 2 * 3 или 3 * 2; вы получите тот же ответ. Аналогично, для комплексных чисел (2 + 5i) * (3-4i) совпадает с (3-4i) * (2 + 5i).
Многочисленные эксперименты Штерна-Герлаха, которые разделяют квантовые частицы вдоль одной оси ... [+] в соответствии с их спинами, вызовут дальнейшее магнитное расщепление в направлениях, перпендикулярных последнему измеренному, но без дополнительного расщепления в том же направлении.
Francesco Versaci of Wikimedia Commons
Но для квантовых операторов порядок может иметь огромное значение. Если вы измеряете спин квантовой частицы в направлении x, а затем в направлении y, частица будет иметь принципиально иные свойства, чем если бы вы измеряли их в обратном порядке. Это свойство, известное как некоммутативность, требует комплексной, а не действительной математики (в частности, комплексных векторных пространств), чтобы объяснить это.
Тот факт, что квадрат комплексного числа может дать вам отрицательный результат, привел к революционному математическому решению уравнения Дирака, предсказавшему существование «отрицательных квантовых состояний». Первоначально Дирак назвал эти состояния «дырками», но вскоре после этого физики осознали, что на самом деле происходит: это было первое теоретическое предсказание антивещества в форме антиэлектрона или позитрона. Его экспериментальное подтверждение стало одним из важнейших открытий в развитии современной квантовой физики.
Так называемое «море Дирака» возникло в результате решения уравнения Дирака, основанного на сложном векторном пространстве ... [+], которое дало как положительные, так и отрицательные энергетические решения. Отрицательные решения были вскоре идентифицированы с антивеществом, и в частности с позитроном (антиэлектроном), и открыли целый новый мир для физики элементарных частиц.
Incnis Mrsi / Public Domain
Вы могли бы интуитивно подумать, что если бы вы могли найти более сложную, более общую математическую структуру, которая расширяла бы комплексные числа - способ, которым комплексные числа расширяли реальные числа - вы могли бы найти ей новое физическое применение. Если вы попытаетесь получить квадратный корень из комплексного числа, независимо от того, являются ли его действительные и мнимые части положительными или отрицательными, вы все равно всегда получите комплексное число. Этот маршрут не приведет вас к более богатой математической структуре.
Но есть внутренне некоммутативное расширение, которое вы можете применить к комплексным числам: вместо того, чтобы считать i2 = -1, вы можете определить три независимых объекта, i, j и k, где i2 = j2 = k2 = -1, но где также комбинация i * j * k = -1 . Это набор коэффициентов, где вместо действительного числа (a) или комплексного числа (a + bi) вы получаете то, что известно как кватернион: a + bi + cj + dk.
Этот график представляет умножение на кватернионные значения i, j и k, которые представлены ... [+] красной, зеленой и синей стрелками, соответственно. Обратите внимание, как они могут преобразовываться между действительными, мнимыми и двумя другими по существу кватернионными (j и k) числами.
Nielmo / Wikimedia Commons
Кватернионы чрезвычайно полезны в математике, но они также связаны с большим количеством физических приложений. В то время как комплексное число представляет точки в двумерной плоскости (с действительной и мнимой осями), кватернион имеет достаточно размеров и степеней свободы, чтобы описать точки в трехмерном пространстве.
Преобразования Лоренца, которые описывают, как длины сокращаются, а время замедляется при приближении к скорости света, используют группу кватернионов. Общая теория относительности может быть связана с кватернионами в современной алгебре. Слабые взаимодействия включают кватернионы, как и трехмерные пространственные вращения. Некоторые квантовые явления обращаются вспять, если вы поворачиваете свою систему на 360 градусов, но возвращаются к нормальному состоянию, если вы делаете это снова и поворачиваетесь на 720 градусов.
Кватернионы в основном некоммутативны и объясняют, почему вращение трехмерного объекта вокруг одной оси, а затем другой дает вам другое конечное состояние, чем вращение этого же объекта вокруг тех же двух осей, но в обратном порядке.
Последний мобильный телефон автора в эпоху до появления смартфона иллюстрирует, что вращения в трехмерном пространстве не ... [+] коммутируют. Слева верхний и нижний ряды начинаются в одинаковой конфигурации. Вверху, поворот на 90 градусов против часовой стрелки в плоскости фотографии сопровождается поворотом на 90 градусов по часовой стрелке вокруг вертикальной оси. Внизу выполняются те же два поворота, но в обратном порядке. Это демонстрирует некоммутативность вращений.
E. Siegel
Итак, вы можете спросить, можете ли вы расширить кватернионы еще дальше? Есть ли другой способ использовать математику, где есть еще один вариант, чтобы открыть еще более богатую структуру?
Ответ - да, но это стоит денег. Следующим шагом к более сложной математической структуре является переход от кватернионов к октонионам, которые имеют по восемь элементов, но это имеет свою цену. Для кватернионов порядок умножения имеет значение, поскольку Q1 * Q2 не совпадает с Q2 * Q1, но кватернионы по-прежнему ассоциативны. Если у вас есть три кватерниона (Q1, Q2 и Q3), то (Q1 * Q2) * Q3 = Q1 * (Q2 * Q3). Но если у вас есть три октониона, они некоммутативны и неассоциативны.
В то время как математика кватернионов связана с рядом известных физических теорий, математика октонионов описывает операции, которые выходят за рамки известной физики, описывая явления, встречающиеся в таких расширениях, как теории великого объединения и теория струн.
Диаграммы Фейнмана (вверху) основаны на точечных частицах и их взаимодействиях. Преобразование их в ... [+] их аналоги в теории струн (внизу) приводит к появлению поверхностей, которые могут иметь нетривиальную кривизну. В теории струн все частицы - это просто разные вибрирующие моды базовой, более фундаментальной структуры: струны. Но действительно ли октонионы, имеющие тесные связи с теорией струн, играют роль в нашей Вселенной? Или это просто математика?
Phys. Today 68, 11, 38 (2015)
Хотя приложения октонионов к физике являются предположительными, есть много веских причин для интереса к этим идеям. Теоретически октонионы показывают вам, сколько пространственно-временных измерений вам нужно для построения суперсимметричной квантовой теории поля. Они связаны с исключительными группами Ли, которые используются для построения теорий великого объединения и которые через группу E (8) играют роль в суперструнных теориях.
Четыре класса чисел, которые мы только что обсудили - действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы - являются особыми в математической области абстрактной алгебры. Эти четыре класса являются единственными алгебрами, где вы всегда можете разделить число на любое число, отличное от нуля, и не получить неопределенность, что делает их единственными существующими нормированными алгебрами с делением.
Если вы попытаетесь расширить октонионы, чтобы сформировать 16-элементную алгебру, вы получите седенионы, которые подчиняются своим собственным некоммутативным, неассоциативным правилам умножения, но потерпите неудачу, если попытаетесь включить деление.
Правила умножения для седенионов, 16-элементной алгебры, которая расширяет 8-элементные ... [+] октонионы, работают в соответствии с некоммутативными, неассоциативными математическими правилами, что не представляет проблемы. Но не существует нормированной алгебры с делением для седионов, и поэтому мы не расширяем октонионы дальше при поиске физических приложений.
English Wikipedia
Сами октонионы никогда не станут «ответом» на то, как работает реальность, но они действительно предоставляют мощную обобщенную математическую структуру, которая имеет свои уникальные свойства. Она включает в себя действительную, комплексную и кватернионную математику, а также вводит принципиально уникальные математические свойства, которые могут быть применены к физике, чтобы делать новые, но умозрительные и до сих пор не поддерживаемые предсказания.
Октонионы могут дать нам представление о том, какие возможности могут быть привлекательными с точки зрения расширения известной физики, а какие - менее интересными, но нет конкретных наблюдений, предсказанных самими октонионами. Пьер Рамон, мой бывший профессор, который рассказывал мне об октионионах и группах Ли в физике, любил говорить: «октиононы для физики - это то же, что сирены для Улисса». У них определенно есть очарование, но если вы погрузитесь в них, они могут ввергнуть вас в гипнотическую, неизбежную гибель.
Их математическая структура обладает невероятным богатством, но никто не знает, означает ли это богатство что-либо для нашей Вселенной или нет.
Комментариев нет:
Отправить комментарий